Željka Bjelanović, prof.:
Pogrešno je kad se misli da je osnovni cilj nastave matematike rješavanje zadataka, a budući da se zbog prirode tog nastavnog predmeta nastava većinom svodi upravo na rješavanje zadataka, učenici su vrlo skloni takvim krivim razmišljanjima.
Nastavni programi matematike su vrlo opširni pa ih je dosta teško vrlo uspješno realizirati predviđenim brojem nastavnih sati. Tada se nekima od nastavnika događa da nastavu matematike svode na rješavanje zadataka dok se "teorija" zanemaruje. Time se polako počinje gubiti pravi smisao nastave matematike, dio učenika navikava se na šablonsko rješavanje zadataka bez nekog većeg razmišljanja koje nakon nekog vremena postaje dosadno i suhoparno i učenici se tada počinju pitati "Zašto mi to učimo?", "A čemu sve to služi?", "Kada će nam to u životu trebati?" i sl.
Nadalje, u današnjoj školi na svakom nastavnom satu učenici čuju jako puno novih informacija i upoznaju puno novih pojmova koje trebaju upamtiti. Čest je slučaj da učenici uče napamet, pa čak i vrlo uspješno upamte sve što se od njih tražilo do trenutka ispitivanja da bi kasnije vrlo brzo zaboravili da su to uopće ikada učili. Kako im pomoći? Osim što bi ih trebalo naučiti kako učiti, možemo im olakšati učenje češćim sistematizacijama nastavnog gradiva. U nastavi matematike je dosta važno da se nastavno gradivo redovito sistematizira i povezuje s drugim predmetima te sa svijetom koji nas okružuje baš zbog toga da učenici uoče kako je matematika znanost u kojoj je sve povezano, sve ima svoje zašto i koja je zbog toga vrlo lijepa za učenje, a time bi se i gore navedena pitanja svela na minimum.
Stoga bi učenicima trebalo pokazati i navikavati ih da sami izrađuju sustave pojmova kako bi što lakše, dugotrajnije i kvalitetnije zapamtili ono što trebaju naučiti, kako bi znali to povezati s realnim svijetom koji nas okružuje te upotrijebiti usvojeno znanje kasnije u životu. Također ćemo im pritom dozvoliti da koriste svoju kreativnost i originalnost jer... kreativnost je stvaralački proces opisan kao proces "povezivanja ranije nepovezanih stvari", odnosno proces nastajanja novih kombinacija ili modeliranja građe, pokreta, riječi, simbola ili ideja.
Postoji više načina modeliranja sustava pojmova, a u nastavi matematike ja koristim sljedeće:
- tablica sličnosti i razlika (primjeri 1. i 2.);
- hijerarhijske strukture (primjeri 3. i 4.);
- grozdovi (clustering ili brainwriting) (primjeri 5. i 6.).
Tablicu sličnosti i razlika je vrlo lako osmisliti za pojedine nastavne sadržaje pa ju vjerojatno izrađuju i ostali nastavnici matematike.
Način izrade:
Odabere se nastavna tema unutar koje ima sličnosti i/ili razlika među pojedinim pojmovima (objektima).
Odaberu se zajednički kriteriji uspoređivanja i objekti koji će se promatrati. Po potrebi se kasnije tablica može proširivati novim kriterijima i/ili objektima. Kriteriji se upišu u prvi redak (ili stupac), a promatrani objekti u prvi stupac (ili redak).
Ispunjava se tablica.
Zatim slijedi diskusija. Postavljaju se pitanja: Što se uspoređuje?, Što je slično?, Što je različito?, Uočavaš li vezu između...?
Kada i kako koristiti u nastavi?
a) S izradom tablice može se započeti na nastavnom satu, ispuniti jedan ili više redaka ili stupaca, a ostatak zadati za domaću zadaću. U tom slučaju bi svaki učenik trebao izraditi svoju tablicu samostalno. S diskusijom se onda nastavlja na sljedećem satu. Na taj način se dobije na vremenu, bolji učenici ne moraju čekati sporije da dovrše, a slabiji stignu potražiti odgovore u bilježnici, udžbeniku ili nekim drugim izvorima.
b) Moguće je na jednom satu (redovne, dodatne ili dopunske nastave) osmisliti, ispuniti tablicu i provesti diskusiju. Tada je dobro učenike podijeliti u grupe (grupni rad) ili neka rade u paru.
c) Odabrati par učenika (najviše 4) i zadati im da izrade plakat u obliku tablice (na dodatnoj nastavi ili kod kuće). Neka prvo sami pokušaju odabrati kriterije i objekte, a nakon konzultacije s nastavnikom neka nastave s ispunjavanjem tablice.
Što se postiže ovakvim radom?
- već prilikom ispunjavanja tablice učenici sami uočavaju jako puno sličnosti i/ili razlika među promatranim objektima,
- formira se sustav pojmova koji će trajnije ostati u pamćenju učenika,
- dolazi do izražaja kreativnost učenika,
- učenici se navikavaju da samostalno izrađuju ovakve tablice u nastavi matematike, ali i drugih nastavnih predmeta,
- izvodi se etapa ponavljanja nastavnog gradiva na vrlo efikasan i djelotvoran način uz maksimalno zalaganje većine učenika.
- ispunjenu tablicu je možda (?!) moguće koristiti i kod ispita znanja.
Primjer 1. Krivulje II. reda
Nakon što učenici upoznaju sve krivulje II. reda dobro je još jednom ponoviti i sistematizirati sve pojmove, definicije, skice, jednadžbe i druge relacije. (Vidi tablicu 1.). Da bi ovaj sustav pojmova bio što pregledniji, zgodno je da se svi podaci upisuju u jednu tablicu jer će to kasnije omogućiti bolje uočavanje veza i odnosa među pojedinim pojmovima. Pošto u ovom primjeru ima dosta materijala za proučavati, nastavnik može učenicima podijeli papire A3 formata da sve lijepo i pregledno stane na papir. Učenici mogu raditi u paru (dva učenika rade jednu tablicu). S izradom tablice trebalo bi započeti na nastavnom satu kako bi učenici točno znali što se od njih traži. Kao primjer neka ispune cijeli jedan stupac (npr. elipsa), a po analogiji neka za domaći rad završe tablicu kod kuće. Poželjno bi bilo da učenici samostalno odaberu kriterije i formiraju retke, pritom nastavnik može dati sugestije svakom paru pojedinačno ukoliko izostave neki kriterij bitan za kasniju diskusiju.
Već prilikom ispunjavanja ove tablice učenici uočavaju jako puno sličnosti između pojedinih pojmova i formula. Stoga se prirodno nameće potreba za razgovorom i diskusijom koju je zgodno provesti na sljedećem nastavnom satu.
Primjer 2. Elementarne funkcije i njihova svojstva
Nakon što se obradi definicija funkcija i osnovna svojstva (4. razred) vrlo je zgodno ponoviti elementarne funkcije te na njima izvježbati određivanje osnovnih svojstava funkcija i osnovnih pojmova vezanih uz funkcije kao što su domena, slika funkcije, nultočke, monotonost, ograničenost, paritet, periodičnost, inverzna funkcija i sl. Pritom se učenici služe skicama grafova funkcija pa na taj način ponavljaju kako izgleda graf svake od elementarnih funkcija (primijetila sam da to učenici vrlo često zaborave), što je vrlo bitno za rješavanje zadataka iz gotovo svakog područja matematike. Također je dosta zadataka na klasifikacijskim ispitima koji se puno brže i lakše rješavaju nakon ovakve sistematizacije elementarnih funkcija.
Kod izrade tablice za kriterije je logično uzeti gore navedene pojmove i svojstva, dok će promatrani objekti biti funkcije (Vidi tablicu 2.). Nastavnik može odabrati nekoliko funkcija koje učenici obvezno trebaju obraditi u tablici te zadati još nekoliko po vlastitom izboru učenika budući da tih funkcija ima dosta.
Još jedan oblik sistematizacije pojmova kojeg je zgodno koristiti u nastavi matematike su hijerarhijske strukture. Najčešće se koriste u sljedećim slučajevima:
- kod sistematizacije pojmova koji se dijele u više vrsta, npr. geometrijski likovi i geometrijska tijela (Vidi primjer 3.);
- kod izrade plana (algoritma) za rješavanje zadataka koji se rješavaju u nekoliko koraka primjenom više različitih postupaka ili pravila, npr. rastavljanje polinoma na faktore (Vidi primjer 4.), rješavanje jednadžbi, određivanje tijeka funkcija i crtanje grafova.
Primjer 3. Klasifikacija četverokuta
Ovakav sustav pojmova će nastavnik već gotov ponuditi učenicima da bi mogli provesti razgovor na temu četverokuti. Učenicima se mogu postaviti sljedeća pitanja: Kako je ova klasifikacija nastala?, Što znače brojevi sa strane?, Koliko je elemenata potrebno za konstrukciju nekog od ovih četverokuta?, U kakvoj su vezi pojmovi povezani crtom?, Zašto između četverokuta s okomitim dijagonalama i paralelograma nema crte?,...
Nadalje, pomoću ovakvog sustava pojmova učenici upoznaju sljedeće kategorije: opseg i sadržaj pojma, rod i vrstu pojma te mogu naučiti pravilno definirati pojmove.
Po uzoru na ovaj primjer učenici mogu za domaću zadaću pokušati izraditi klasifikaciju trokuta.
Ovakve hijerarhijske strukture je zgodno izrađivati za pano u učionici. Dva vrlo zgodna primjera su geometrijski likovi i geometrijska tijela. Tada kreativnost i originalnost učenika dolazi do izražaja jer se na plakat osim naziva i skica pojmova mogu ubaciti i formule, slike iz novina ili s Interneta ili nešto nacrtati bojicama i sl.
Primjer:
Geometrijska tijela – plakat kojeg je izradila učenica Valentina Šantalab (prezentiran na 3. stručno metodičkom skupu - Rovinj 2003.)
Primjer 4. Rastavljanje polinoma na faktore
Pri rješavanju zadataka s tekstom "Rastavi na faktore" ili "Napiši u obliku umnoška" dobar dio učenika zna imati dosta problema iz više razloga:
- to je nastavno gradivo koje se uči početkom prvog razreda SŠ kada se učenici još privikavaju na novog nastavnika, novi način rada, dosta novih informacija na svakom nastavnom satu,
- učenicima se u početku možda čini da je sve oko algebarskih izraza vrlo apstraktno i da nema neku konkretnu svrhu i primjenu pa baš i nisu dovoljno motivirani za vježbanje zadataka,
- ovo nisu šablonski zadaci,
- potrebno je poznavati oko desetak formula i točno znati kada koju od njih primijeniti.
Da bi pomogao učenicima, nastavnik može ponuditi jednu ovakvu hijerarhijsku strukturu plana rješavanja takvih zadataka pomoću koje se učenici lakše snalaze u većem broju formula, u većem broju različitih i pomalo "zastrašujućih kobasica" polinoma te mogu u svakom koraku odabrati upravo ono pravilo koje im je potrebno. Osim toga, ponovit će sve formule još jednom i u svojoj glavi zadržati još jednu njihovu sistematizaciju kako bi što dulje zapamtili ono što će im trebati na gotovo svakom sljedećem satu matematike.
Tablice i hijerarhijske strukture su relativno "uredni" sustavi pojmova. Baš zbog toga je njihova uporaba u nastavi ograničena jer nije moguće svako nastavno gradivo tako sistematizirati.
Nasuprot tome, grozd je jedna "neuredna" razgranata struktura pa je takav sustav pojmova moguće koristiti za sistematizaciju gotovo svakog nastavnog gradiva unutar bilo kojeg nastavnog predmeta pa zašto bi matematika bila izuzetak.
Ovakvom sistematizacijom se učenike potiče da slobodno i otvoreno razmišljaju o zadanom pojmu, povezuju ga s drugim pojmovima iz područja koje se proučava, iz nekog drugog nastavnog predmeta ili iz realnog svijeta koji nas okružuje slijedeći vlastiti tok misli. Pritom ne postoji nikakvo strogo pravilo ili ključ po kojem se grozd izrađuje osim što se na papir zapisuju asocijacije koje u tom trenutku naviru u misli učenika. Zbog toga se postupak izrade grozdova naziva brainwriting, a postoji i još jedan engl. naziv - clustering.
Način izrade:
Odabere se ključna riječ (pojam) i zapiše na sredini papira (ili ploče).
Sve riječi ili fraze koje nam padnu na pamet u vezi s početnim pojmom zapisuju se okolo. Također se zapisuju i sve asocijacije na upravo dopisane riječi ili fraze.
Paralelno s dopisivanjem novih riječi potrebno je povezivati pojmove za koje smatramo da se mogu povezati.
Novi pojmovi se dopisuju sve dok ideje ne presuše, dok više nemamo kuda pisati ili dok ne istekne zadano vrijeme.
Kada i kako koristiti u nastavi?
Izrada grozdova je vrlo efikasna metoda za uvod u novu nastavnu temu kako bi se učenike potaklo na razmišljanje o onome što su već prije čuli ili naučili. Također je izuzetno plodonosna metoda za ponavljanje već obrađene teme ili cjeline. U posljednje vrijeme vrlo često spominjana korelacija s drugim predmetima ovdje posebno dolazi do izražaja budući da se ne ograničavamo samo na matematiku. Čak je ovu metodu moguće koristiti i kod provjere znanja.
Neki od načina korištenja grozdova u nastavi:
- svi učenici mogu izrađivati jedan zajednički grozd na ploči tako da jedan po jedan dolaze pred ploču i zapisuju nove riječi. Ovo je vrlo zanimljivo kod uvoda u novu nastavnu temu jer učenici jedni druge potiču da se prisjete što su o zadanoj temi prije čuli;
- učenici mogu raditi u grupi (max. 4 učenika) tako da svi istovremeno izrađuju jedan grozd. Tada pišu po većem komadu papira – svaki učenik počne sa svoje strane graditi grozd da bi kasnije nadopunjavali jedan drugoga. Zgodno je da onda svatko piše svojom bojom;
- grupi se može zadati i onoliko ključnih pojmova koliko ima članova s tim da zadani pojmovi budu smisleno povezani. Tada svatko radi svoj grozd, a zatim ih zalijepe jedan do drugoga. Na kraju se uvijek mogu uspostaviti još neke veze unutar velikog grozda;
- dva učenika mogu raditi svaki svoj grozd da bi nakon nekog vremena zamijenili papire i nastavili raditi dalje. Ovo je vrlo zanimljivo jer se početni tokovi misli najčešće razlikuju pa zamjenom grozdova učenici jedan drugoga potiču na još šire razmišljanje;
- svaki učenik može raditi svoj grozd na papiru ili u bilježnici s time da mogu, ali i ne moraju svi učenici imati zadan isti ključni pojam. Ovakav individualan način rada pogodan je kada treba na brzinu nešto ponoviti i dobro je onda ograničiti vrijeme izrade na max. 10 minuta;
- također se individualni način izrade grozda može se koristiti i kod ispitivanja učenika (Vidi primjer 6.);
- grozd se može izraditi i na velikom papiru za pano u učionici. Da bi plakat bio što življi i originalniji, mogu se dodati crteži, slike, izresci iz novima.
Na kraju je uvijek dobro provesti diskusiju jer se često pojavi još po koji novi pojam, veza ili se uoče neke nepravilnosti budući da se u brzini ne razmišlja previše o točnosti.
Primjer 5. Ponavljanje o pravokutnom trokutu
Pogledajte ovakav grozd u nastajanju! → Prezentacija
Ovako izgleda jedan grozd s početnim pojmom "pravokutan trokut". Sigurno je da u razredu nećemo dobiti dva ista grozda jer će svaki učenik slijediti svoj vlastiti tok misli. Koji će se novi pojmovi pojaviti u grozdu ovisi i o predznanju učenika o zadanom pojmu, a što je povezano s dobi učenika. Nije isto ako se ovaj primjer zada u 7. razredu OŠ, 2. razredu SŠ ili u 4. razredu SŠ. Ako malo bolje pogledamo, onda ovako formiran grozd najviše odgovara 2. razredu SŠ dok učenici još nisu upoznali trigonometriju pravokutnog trokuta. Zapravo je početna ideja ovog primjera bila da se ponovi gradivo o pravokutnom trokutu prije nego što se definiraju trigonometrijske funkcije. Usput se ponavlja i nastavno gradivo koje nam nije nužno potrebno na sljedećim satovima (npr. iracionalan broj, obodni kut, slobodni pad,...).
Primjer 6. Ispitivanje učenika - "Što možeš reći o y = 0,5 x - 3 ?"
Učeniku se zada jedan konkretan primjer (a može i neki apstraktni pojam) za kojeg treba izraditi grozd na listu papira. Nakon što učenik napiše sve što mu padne na pamet, nastavnik može procijeniti kakvo je znanje učenika o zadanom pojmu ili primjeru – koliko zna i da li je ono što je napisao točno. Može mu postaviti još koje potpitanje, dozvoliti mu da dopuni svoj grozd i onda ga ocijeniti.
Višestruka je prednost korištenja grozdova pri ispitivanju i ocjenjivanju učenika. Nastavnik dobiva na vremenu jer istovremeno može kvalitetno ispitati nekoliko učenika. Učenici se oslobađaju treme, ne ograničava ih se u razmišljanjima, imaju više vremena da se prisjete "točnih odgovora", dozvoljava im se da budu kreativni i kod samog ispitivanja, izbjegava se šablonsko znanje i omogućuje konkretna primjena naučenoga.
Neki primjeri grozdova:
Kut – primjer grozda kojeg su učenici zajednički izradili na ploči kao uvod u novu nastavnu jedinicu Mjera kuta (3. r.)
Trokut – primjer grozda kojeg su tri učenice zajedno radile za domaći rad
Trigonometrijske funkcije – plakat koji obuhvaća četiri grozda: sinus, kosinus, tangens i kotangens – radile četiri skupine po tri učenika (prezentiran na 3. stručno metodičkom skupu - Rovinj 2003.)
Mailing lista nastava matematike – plakat kojeg sam ja osobno izradila za 3. stručno metodički skup Rovinj 2003.
Objavljeno u Zborniku radova 3. stručno metodičkog skupa "Kreativnost učitelja/nastavnika i učenika u nastavi matematike" u Rovinju, 16.-18. listopada 2003., str. 80.-96.
