Željka Bjelanović Dijanić, prof.:

Grozd kao pomoć pri rješavanju jednadžbi

Pogledamo li zadatke s pismenih ispita na maturi iz matematike, možemo primjetiti da se pojedina područja srednjoškolskog gradiva pojavljuju u gotovo svakoj zadaći: jednadžbe i nejednadžbe, kompleksni brojevi, nizovi, funkcije, krivulje drugog reda i pravac, rješavanje trokuta. Ono što je meni odmah zapelo za oko su jednadžbe i nejednadžbe jer se u zadacima pojavljuju sve moguće vrste jednadžbi, od onih koje se uče u prvom razredu (linearne, s apsolutnim vrijednostima, iracionalne), pa u drugom (kvadratne, eksponencijalne, logaritamske), trećem (trigonometrijske), a čak i nešto u četvrtom (jednadžbe i geometrijski red).

Tako se u pismenoj zadaći iz matematike na maturi 2000./2001. u II. gimnaziji u Osijeku (opća gimnazija) pojavio zadatak:

1. Riješi jednadžbe i nejednadžbe:

U V. gimnaziji u Zagrebu (prirodoslovno-matematička) 2002./2003. na maturi se pojavio sličan zadatak:

1. Riješi jednadžbe i nejednadžbu:

Među zadacima završnog ispita u kanadskoj provinciji Britanska Kolumbija objavljenima u časopisu Matematika i škola 21 također se može naći nekoliko zadataka tipa "Riješi jednadžbu":

18.

19.

Slični zadaci pojavljuju se i na maturi u Sloveniji i to čak na osnovnoj razini. Iz kolovoza 2000. izdvajam:

3. Riješi jednadžbu:

7. Riješi jednadžbu:

Pogledamo li zadatke s razredbenih ispita na fakultetima, zasigurno ćemo naići na slične jednadžbe. Na web stranici FER-a (http://www.fer.hr) nalazi se simulacija razredbenog ispita koju može pokrenuti bilo koji posjetitelj te stranice kako bi provjerio svoje znanje. Odatle izdvajam sljedeće zadatke:

Umnožak svih rješenja jednadžbe iznosi ...
Broj rješenja jednadžbe na intervalu iznosi ...
Zbroj rješenja jednadžbe iznosi ...
Rješenje jednadžbe je ...
Rješenje jednadžbe nalazi se u intervalu ...

6. Zbroj kvadrata rješenja jednadžbe iznosi ...

Pitanje je koliko će se učenika na kraju četvrtog razreda sjećati kako se rješavaju sve te jednadžbe bez dodatnog ponavljanja gradiva.

Razgovarajući s kolegama na mailing listi nastavnika matematike (http://groups.yahoo.com/group/nastava-matematike), uvidjela sam da dobar dio njih svoje učenike dodatno priprema za maturu iz matematike i to čak kroz cijelu školsku godinu po jedan ili dva sata tjedno, bilo da im je to u normi ili dodatno plaćeno, a nije rijedak slučaj i da bude neplaćeno. Stoga sam i ja prošle školske godine odlučila pripremati svoje učenike za maturu i to po ovoj trećoj varijanti.

Budući da je gradiva dosta, a vremena baš i ne, trebalo je osmisliti način kako što efikasnije ponoviti i uvježbati barem one tipove zadataka koji se češće pojavljuju. Najveći problem stvarale su mi upravo te (ne)jednadžbe jer mi se to područje činilo najopširnijim. I tako se nametnula ideja grozda uz kojeg bi učenici lakše sistematizirali sve te silne vrste i podvrste jednadžbi.

Radi bolje preglednosti ideju velikog grozda "razbila" sam na sedam manjih – za svaku vrstu jednadžbi po jedan.

Grozd jednadžbe

U prvom razredu gimnazija te nekih drugih škola učenici upoznavaju i uvježbavaju rješavanje čak triju skupina jednadžbi:

Ø linearne jednadžbe;

Ø jednadžbe s apsolutnim vrijednostima;

Ø iracionalne jednadžbe.

Za svaku od navedenih skupina izradila sam sljedeće grozdove:

Grozd linearne

Grozd apsolutno

Grozd iracionalne

Ako se malo bolje pogleda ovo i nisu klasični grozdovi o kakvima se govori u [5]. Ove sheme su zapravo kombinacija grozda i dijagrama tijeka. Crtkanim linijama označila sam dijelove sheme u kojima se ponavljaju osnovni pojmovi potrebni za razumijevanje tipa jednadžbe. Punim linijama označeni su koraci koje je potrebno provesti da bi se uspješno riješio zadatak.

Stoga ovakve sheme učenicima mogu bitno olakšati rješavanje jednadžbi čak i onda kada se prvi put susreću s takvim zadacima, dakle, u prvom razredu. Čak štoviše, to im može biti dodatna motivacija za vježbanje jer imaju "brzi vodič do uspjeha" pa će manje lutati prilikom rješavanja i neće se događati da odustaju napisati domaću zadaću jer nisu znali niti započeti.

A kako ove sheme doista funkcioniraju pri rješavanju zadataka, pokazat ću na jednom primjeru jednadžbe s apsolutnim vrijednostima jer sam primijetila da upravo s ovom skupinom jednadžbi ima popriličnih teškoća u razredu.

Primjer 1. Riješi jednadžbu

Potražimo li pomoć u grozdu jednadžbe s apsolutnim vrijednostima možemo, kao prvo, ponoviti definiciju apsolutne vrijednosti realnog broja, a zatim i primjetiti da je naš zadatak tipa "složenije jednadžbe" i to

|izraz1| + |izraz2| + |izraz3| = a.

Idući korak bio bi "odrede se točke u kojima izraz1, izraz2,... mijenjaju predznak" što i učinimo:

x+1 = 0

x = -1

2x+1 = 0

1-3x = 0

Zatim ide korak "dobivene točke određuju intervale" što znači da točkama

–1, , podijelimo brojevni pravac na četiri dijela:

, , ,

Nakon toga se "za svaki interval razmatraju predznaci od izraz1, izraz2,...".

Da bi cijeli postupak bio pregledniji, koristit ćemo tablični prikaz predložen u shemi:


- x – 1	- 2x – 1	1 – 3x
x + 1	- 2x – 1	1 – 3x
x + 1	2x + 1	1 – 3x
x + 1	2x + 1	- 1 + 3x

Sada smo za svaki interval dobili upravo "lineranu jednadžbu" kao što piše u grozdu.

Za x Î čitamo prvi redak iz tablice:

- x – 1 + (– 2x – 1) – (1 - 3x) = 3

- 3 = 3

Jednakost nije valjana pa u ovom intervalu nema rješenja.

Za x Î imamo:

x + 1 + (– 2x – 1) – (1 - 3x) = 3

x = 2

Nakon što se dobije moguće rješenje slijedi korak "obvezno provjeriti da li je dobiveno rješenje iz razmatranog intervala". Budući da 2Ï ni u ovom intervalu nismo dobili rješenje.

Za x Î imamo:

x + 1 + 2x + 1 – (1 - 3x) = 3

x = Î

U ovom intervalu dobili smo jedno rješenje .

Za x Î imamo:

x + 1 + 2x + 1 – (-1 + 3x) = 3

3 = 3

Ova jednakost je valjana za svaki realni broj iz intervala što znači da svaki x iz tog intervala zadovoljava našu jednadžbu.

Ukupno rješenje (iz sva četiri intervala) jest x Î . ■

U drugom razredu uče se i uvježbavaju još tri skupine i to nešto složenijih jednadžbi:

Ø kvadratne jednadžbe;

Ø eksponencijalne jednadžbe;

Ø logaritamske jednadžbe.

Za svaku od navedenih skupina izradila sam sljedeće grozdove:

Grozd kvadratne

Grozd eksponencijalne

Grozd logaritamske

Kako nam ove sheme mogu olakšati rješavanje jednadžbi pogledajmo na primjeru zadatka iz simulacije FER-ovog razredbenog ispita.

Primjer 2. Zbroj kvadrata rješenja jednadžbe iznosi...

Potražimo li pomoć u grozdu logaritamske jednadžbe možemo ponoviti definiciju logaritma, prisjetiti se kako izgleda graf logaritamske funkcije i ne zaboraviti na početno postavljanje uvjeta da svi logaritmandi budu veći od nule.

U ovom primjeru logaritmandi su 9^x-1+7>0 i 3^x-1+1>0 što vrijedi za svaki realni broj x jer eksponencijalne funkcije f₁(x)=9^x-1+7 i f₂(x)=3^x-1+1 poprimaju samo pozitivne vrijednosti.

Nadalje, možemo primjetiti da je zadana jednadžba nešto složenijeg oblika pa ćemo u grozdu pratiti granu "neki složeniji oblik". Odgovor na pitanje "Da li je svuda ista baza?" je potvrdan, dok je odgovor na pitanje "Da li je svuda isti logaritmand?" negativan. Grozd nas podsjeća da je sada potrebno primijeniti pravila za logaritmiranje.

Sada možemo iskoristiti injektivnost logaritamske funkcije i "izjednačiti logaritmande":

Dobili smo eksponencijalnu jednadžbu pa ćemo pomoć potražiti u grozdu eksponencijalne jednadžbe.

Dobivena jednadžba je opet nešto složenijeg oblika pa slijedimo granu "neki složeniji oblik". Prvo nam se postavlja pitanje "Imaju li sve potencije istu bazu?". Nemaju. U primjeru se pojavljuju dvije baze: 3 i 9. Sljedeće pitanje "Možemo li sve potencije svesti na istu bazu?" daje potvrdan odgovor jer je 9=3² pa ćemo "Svesti na istu bazu i srediti jednadžbu".

Zatim dolazimo do pitanja "Možemo li te potencije rastaviti da imamo iste eksponente?" ili "u eksponentima imamo neki broj i njegov dvostruki?"

Sada uvodimo supstituciju t = 3^x i dobivamo kvadratnu jednadžbu.

¤ × 9

Za očekivati je da svaki gimnazijalac bez ikakvih problema zna riješiti ovu jednadžbu, ali ako je baš potrebno može zaviriti u grozd kvadratne jednadžbe da se prisjeti.

t₁ = 9 t₂ = 3

Da bi dobili x vraćamo se supstituciji t = 3^x:

3^x = 9 3^x = 3

x₁ = 2 x₂ = 1

Zbroj kvadrata rješenja jednadžbe jest x₁² + x₂² = 5. ■

U trećem razredu upoznaje se posljednja skupina jednadžbi koja se obrađuje u ovom radu, a i u redovnom programu opće gimnazije:

Ø trigonometrijske jednadžbe.

Smatram da je ova skupina jednadžbi učenicima najteža iz nekoliko razloga: elementarnih trigonometrijskih funkcija ima čak četiri, sve su periodične, postoje brojni trigonometrijski identiteti koji ih povezuju (osnovne relacije među funkcijama, adicijske formule, funkcije dvostrukog i polovičnog kuta, formule pretvorbe umnoška u zbroj te zbroja u umnožak) i potrebno ih je dobro savladati prije nego se uopće krene s rješavanjem jednadžbi.

Grozd kojeg sam izradila za rješavanje trigonometrijskih jednadžbi mogao bi se još dosta proširiti, ali zbog želje da sve stane u jednu shemu koja bi bila bar onoliko vidljiva i čitka koliko su i prethodne, obuhvatila sam samo postupke rješavanja jednadžbi uz vizualni podsjetnik definicije trigonometrijskih funkcija na brojevnoj kružnici.

Grozd trigonometrijske

Ovakve sheme učenicima mogu puno pomoći prilikom rješavanja jednadžbi, posebice ako se dvoume koji je sljedeći korak. Međutim, prije svega treba napomenuti da je itekako potrebno, kao prvo, dobro poznavati svojstva funkcija koje se pojavljuju u jednadžbama, a kao drugo, upoznati se sa shemom i razumjeti svaki korak prije nego se uopće krene s vježbanjem zadataka. To nam pokazuje sljedeći primjer.

Primjer 3. Riješi jednadžbu

Potražimo li pomoć u grozdu trigonometrijske jednadžbe uočit ćemo da ova jednadžba ne odgovara niti jednom od pet ponuđenih tipova jednadžbi. Stoga ju je prvo potrebno transformirati u neki jednostavniji oblik.

S obzirom da se u jednadžbi baš i ne može lako iskoristiti neki od trigonometrijskih identiteta iz tablica, trebalo bi uočiti razliku kubova.

Unutar druge zagrade krije se osnovna relacija sinusa i kosinusa pa je

Tek sada smo dobili oblik iz sheme - "rastavljanje na faktore", ali vjerujem da će se oni učenici koji su sami uočili prvi korak i bez sheme u ovom trenutku snaći kako dalje:

ili

Kod prve jednadžbe može se iskoristiti sinus dvostrukog kuta:

¤ × 2

što je nemoguće jer sinus poprima vrijednosti iz intervala [-1,1].

Druga jednadžba je linearna trigonometrijska kakvu imamo i u shemi. Ona se rješava univerzalnom zamjenom

pri čemu se kod rješavanja zadataka odmah može uvesti supstitucija i pisati

¤ × (1+u²)

2u = 2

u = 1

To znači da je pa je

, kÎZ

Većina učenika mislit će da je tu kraj i da su uspješno riješili zadatak. Međutim, to nije jedino rješenje. nije definirano za , kÎZ pa treba provjeriti jesu li ti brojevi rješenje jednadžbe što u ovom slučaju i jest.

Ova posljednja provjera dodana je u grozd "Provjeriti da li je , kÎZ rješenje jedn." kako se na nju ipak ne bi zaboravilo.

Dakle, jednadžba ima dva skupa rješenja:

, kÎZ

, kÎZ ■

A određena sistematizacija svih vrsta jednadžbi potrebna nam je već u prvom polugodištu četvrtog razreda. Unutar nastavne teme Geometrijski red za vježbanje se predviđaju zadaci poput ovih:

Riješi jednadžbe:

Upravo u ovom trenutku nastavnik može provjeriti jesu li učenici dobro savladali rješavanje jednadžbi iz prethodnih razreda, odnosno koliko i što su zaboravili. Možda će ih tom prilikom baš ovi grozdovi motivirati i pomoći im da lakše osvježe svoje pamćenje.

Pošto su sheme objavljene u ovom zborniku radova dosta sitne i tiskane u jednoj boji, na mojoj osobnoj web stranici http://free-bj.t-com.hr/zbjelanovic/ možete potražiti veći format (A4) u boji. Svoje sugestije, eventualne korekcije ili neke druge primjedbe možete poslati na zeljka.bjelanovic@bj.t-com.hr.

Literatura:

[1] Dakić, B., Elezović, N., Matematika 1, udžbenik i zbirka zadataka za 1. razred gimnazije, Element, Zagreb, 2001.

[2] Dakić, B., Elezović, N., Matematika 2, udžbenik i zbirka zadataka za 2. razred gimnazije, Element, Zagreb, 2004.

[3] Dakić, B., Elezović, N., Matematika 3, udžbenik i zbirka zadataka za 3. razred gimnazije, Element, Zagreb, 2000.

[4] Dakić, B., Elezović, N., Matematika 4, udžbenik i zbirka zadataka za 4. razred gimnazije, Element, Zagreb, 2003.

[5] Bjelanović, Ž., Sustavi pojmova u nastavi matematike, Zbornik radova 3. stručno-metodičkog skupa, HMD, Rovinj, 2003., str. 80.-96.

[6] Buzan, T., Kako izrađivati mentalne mape, Veble, Zagreb, 2004.

[7] Pismene zadaće iz matematike na maturi 2000./2001., u: Matematika i škola, br. 11., Zagreb, 2001., str. 26.-29.

[8] Zadaci na maturi, u: Matematika i škola, br. 13., Zagreb, 2002., str. 129.-131.

[9] Pismeni ispiti iz matematike na maturi u Rijeci, Osijeku, Splitu i Zagrebu, u: Matematika i škola, br. 21., Zagreb, 2003., str. 35.-37.

[10] Završni ispit u kanadskoj provinciji Britanska Kolumbija, u: Matematika i škola, br. 21., Zagreb, 2003., str. 38.-41.